‘행복한 초등학교’를 펴내며<br/>초대하는 글<br/><br/>1. 면<br/> 생각해 보기 - 면의 정체가 궁금해<br/> 개념과 원리 - 면이란 무엇일까?<br/> 통합 사고력 - 면을 분류하라<br/> 역사 속의 수학 - 차원이란 무엇일까?<br/><br/>2. 선<br/> 생각해 보기 - 모서리에 앉는다고?<br/> 개념과 원리 - 모서리, 변, 선분, 직선 그리고 평행선<br/> 통합 사고력 - 수평과 평행선의 관계는?<br/> 역사 속의 수학 - 비유클리드 기하학<br/><br/>3. 각<br/> 생각해 보기 - 모난 돌이 정 맞는다?<br/> 개념과 원리 - 각이란 무엇일까?<br/> 통합 사고력 - 날짜와 시간을 원 안에 그린 이유는?<br/> 역사 속의 수학 - 왜 한 바퀴는 360도일까?<br/><br/>4. 다각형<br/> 생각해 보기 - 이상한 도형<br/> 개념과 원리 - 다각형이란 무엇일까?<br/> 통합 사고력 - 똑같이 그리는 데 필요한 도구는?<br/> 역사 속의 수학 - 최초의 수학 수업<br/><br/>5. 사각형<br/> 생각해 보기 - 움직이는 옷걸이의 비밀<br/> 개념과 원리 - 여러 가지 사각형<br/> 통합 사고력 - 사각형을 만들어라<br/> 퍼즐과 게임 - 큰 도형은 작은 도형의 몇 배일까?<br/> 역사 속의 수학 - 페르시아의 수학자 오마르 카얌<br/><br/>6. 삼각형<br/> 생각해 보기 - 치즈와 샌드위치<br/> 개념과 원리 - 다각형의 기본, 삼각형<br/> 통합 사고력 - 높이는 얼마일까?<br/> 역사 속의 수학 - 구고현의 정리와 피타고라스 정리<br/><br/>7. 다면체<br/> 생각해 보기 - 상자와 상자 모양의 차이<br/> 개념과 원리 - 입체도형과 다면체<br/> 통합 사고력 - 마이산의 평면도를 그려라<br/> 역사 속의 수학 - 기하학과 유클리드<br/><br/>8. 원<br/> 생각해 보기 - 피자와 훌라후프의 차이<br/> 개념과 원리 - 원이란 무엇일까?<br/> 통합 사고력 - 얼굴 무늬 수막새를 복원하라<br/> 역사 속의 수학 - 원주율의 역사<br/><br/>9. 회전체<br/> 생각해 보기 - 종이컵을 펼쳐 놓으면?<br/> 개념과 원리 - 회전체란 무엇일까?<br/> 통합 사고력 - 회전체를 만드는 방법은?<br/> 역사 속의 수학 - 자와 컴퍼스 그리고 원뿔곡선<br/><br/>10. 도형과 계산<br/> 생각해 보기 - 삼각형에는 점이 몇 개 있을까?<br/> 개념과 원리 - 계산과 도형의 연결<br/> 통합 사고력 - 핀이 몇 개 더 필요할까?<br/> 역사 속의 수학 - 도형과 수를 연결한 데카르트<br/><br/>

“아, 도형은 너무 골치 아파!” 아이들은 대개 도형을 어려워한다. 도형의 기초 개념을 논리적으로 알고 있지 못하기 때문이다. 도형은 세상 만물을 관찰한 뒤 공통점을 뽑아 우리 머릿속에 그린 그림이다. 이 책은 면, 선, 각, 다각형, 사각형, 삼각형, 회전체, 원 등이 과연 무엇인지를 명확히 정리해 주고, 도형과 계산이 어떻게 연결되는지를 보여 준다.

1.면
주사위로 도장 찍기 놀이를 해 보자. 눈이 1개인 곳부터 6개인 곳까지 차례로 도장을 찍으면, 종이에 모두 6개의 네모가 만들어진다. 주사위는 입체 도형인 정육면체이고, 종이에 찍힌 것은 평면도형인 정사각형이다. 여기서 정육면체는 정사각형 6개로 둘러싸인 도형이라는 걸 알 수 있다. 이처럼 입체도형을 이루고 있는 평면도형, 곧 사각형 하나하나를 ‘면’이라고 한다. 물론 삼각뿔에 있는 삼각형이나 원기둥에 있는 동그라미도 면이다.

2.선
목수가 판자를 자르기 위해 연필로 직선을 긋고 있다. 그러나 아무리 경험 많고 뛰어난 목수라 해도 수학에서 말하는 직선을 그릴 수는 없다. 사람이 실제로 그은 선은 간격과 두께가 완벽하게 일정할 수 없는데, 수학에서 다루는 선은 머릿속으로 그린 완벽한 선이기 때문이다. 선만이 아니라 도형에서 배우는 평면, 다각형, 원, 구, 다면체 같은 것도 그렇게 생긴 물체에서 이끌어 낸 머릿속의 개념이다.

3.각
인류는 처음에 손가락과 발가락을 가지고 간단한 셈을 하기 시작했다. 도형도 마찬가지로 사람의 몸에서 비롯되었다. 도형의 가장 기본적인 개념들은 사람의 몸이 만들어내는 모양을 관찰해서 얻은 것이다. 예를 들어 ‘각’이라는 개념은 팔꿈치와 무릎이 만들어 내는 팔다리의 모양에서 유래하였다. 각은 두 변이 한 점에서 만나서 이루는 도형을 말한다. 그래서 각을 만드는 한 변을 뜻하는 말과 사람의 다리를 가리키는 말이 같은 나라들이 많다.

4.다각형
다각형은 평면도형에 속한다. 평면도형 가운데서 곡선으로 이루어진 것을 제외하고, 직선으로 둘러싸여서 안과 밖이 구별되는 도형을 다각형이라고 한다. 도형을 이루는 직선과 꼭지점이 각각 3개이면 삼각형, 4개이면 사각형, 5개이면 오각형……100개이면 백각형이 된다. 그러나 같은 삼각형이라고 해서 모양이 다 같은 것은 아니다. 각의 크기와 변의 길이에 따라 도형의 모양이 달라지기 때문이다.

5.사각형
사각형을 공부하는 과정은 스무 고개 놀이를 하는 것과 비슷하다.
“그것은 네 개의 변과 네 개의 각으로 이루어졌습니까?”
“그것은 한 쌍의 평행한 변을 가지고 있습니까?”
“그것은 두 쌍의 평행한 변을 가지고 있습니까?”
“그것은 네 각의 크기가 모두 같습니까?”
“그것은 네 변의 길이가 모두 같습니까?”
사각형에 특징을 하나씩 더해 나가면 자연히 사다리꼴, 평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형의 성질을 이해하게 된다.

6.삼각형
삼각형은 다각형의 가장 작은 단위이다. 그래서 모든 다각형은 삼각형으로 분해할 수 있다. 예를 들어 사각형은 삼각형 2개, 오각형은 삼각형 3개, 육각형은 삼각형 4개로 나누어진다. 삼각형 가운데는 특별한 질서를 가진 것들이 있다. 우리는 거기에 직각삼각형, 이등변삼각형, 직각이등변삼각형, 정삼각형 같은 이름을 붙여 주었다. 이 특별한 삼각형들의 법칙은 다른 삼각형이나 다른 도형을 이해하는 바탕이 된다.

7. 다면체
생활 속에서 자주 접하는 물건을 그림으로 그려 보자. 고깔모자는 원뿔, 주사위는 정육면체로 그릴 수 있다. 이처럼 다양한 물건의 공통되는 특징을 단순하게 표현한 것이 도형이다. 그런데 우리가 손으로 만질 수 있는 물건들에는 두께가 있다. 이처럼 두께가 있는 도형을 입체도형이라고 한다. 그러면 평면도형은 뭘까? 마치 그림자처럼 형태만 있고 두께가 없는 도형이 평면도형이다.

8.원
화려한 전차 경주가 벌어지던 로마의 콜로세움 같은 경기장을 ‘원형 경기장’이라고 한다. 원 모양으로 생긴 경기장이라는 뜻이다. 그러나 그것은 단지 원 모양일 뿐 원은 아니다. 수학에서 말하는 원은 컴퍼스로 그린 것처럼, 울퉁불퉁하거나 찌그러지지 않고 완전히 둥근 도형이기 때문이다. 삼각형에 정삼각형, 직각삼각형 등이 있고 사각형에 사다리꼴, 마름모 등이 있는 것처럼 다각형은 모양이 여러 가지이지만 원은 오로지 한 가지 모양밖에 없다.

9.회전체
피겨 스케이팅 선수의 화려한 공중 3회전과 지구의 자전 사이에는 어떤 공통점이 있을까? 그건 바로 ‘돈다’는 것이다. 그리고 그냥 도는 것이 아니라 하나의 축을 중심으로 돈다는 점이 같다. 어떤 평면도형을 한 직선을 축으로 회전시켜서 얻는 입체도형을 회전체라고 한다. 그리고 이때 축으로 사용한 직선을 회전축이라고 한다. 회전체는 회전축을 중심으로 양 옆이 대칭이고, 회전축에 수직으로 자르면 언제나 원이 나온다.

10.도형과 계산
“저는 연산은 잘하는데 도형은 통 이해가 안 돼요!” “도형은 쉬운데 계산 문제가 어려워요!” 하는 학생들이 많다. 하지만 그것은 잘못된 생각이다. 수, 계산, 도형, 측정 같은 수학의 모든 영역은 서로 밀접하게 연결되어 있기 때문이다. 단원별로 나누어서 배우다 보니, 그것이 잘 드러나지 않을 뿐이다. 본문에 소개한 ‘나무 심기’ 문제는 보통 연산 연습이나 실생활과 관련이 있다고 알려져 있다. 하지만 이 문제는 실제로 도형과 깊은 관련이 있다.

학생들에게 수학이란 어떤 대상인가? 대부분이 지겹고 골치 아파서 하루라도 빨리 벗어나고픈 과목이라고 느낀다. 문제는 우리 수학 교육의 현실에 있다. 오로지 입시를 위해 수많은 공식을 외고 대입하는 반복 훈련에 시달린 나머지 너무 일찍 질려 버리는 것이다. 수학의 진정한 의미를 생각하고, 수학적 사고의 매력을 느껴 볼 기회조차 주어지지 않는다. 한국 초등 학생과 중학생들의 수학 실력은 국제 평가에서 세계 1, 2등을 다툴 정도로 우수하다. 그러나 고등 학교로 올라가면 사정이 달라진다. 고등 학생 대상의 ‘국제 수학 올림피아드’에서 한국은 대개 10위권 밖에 머물렀다. 수학을 수학답게 배우는 것이 아니라 그저 좋은 대학을 가기 위한 수단으로 받아들이기 때문에, 문제 풀이를 넘어선 수준 높은 수학을 소화할 수 있는 지적 능력과 창의성을 기르지 못한 탓이다. 그래서 거개의 학생들은 대학 입학과 동시에 수학에서 손을 뗀다. <br/><br/>그러면 다른 나라의 사정은 어떨까? 지금 선진국들은 수학을 21세기 국가 경쟁력의 핵심으로 보고 수학 연구와 교육에 지속적으로 투자하고 있다. 그리고 이렇게 육성된 수학자들은 대학 강단과 연구실만이 아니라 금융 회사, 컴퓨터 회사, 통신 회사 등에서 최첨단 기술을 개발하는 일에 몰두하고 있다. 다음 세기에 그들의 ‘기술 식민지’나 ‘하청 국가’로 전락하는 것을 원하지 않는다면, 우리도 수학 교육의 현실을 근본적으로 뒤바꾸는 일에 하루빨리 나서야 할 것이다. 모든 학문과 산업의 여왕인 수학에 대한 투자 없이 멋진 새 시대를 이야기하는 것은 공염불에 지나지 않기 때문이다. 컴퓨터나 인터넷을 잘 다루는 것은 단지 하나의 수단일 뿐이다. ‘어떻게’가 아니라 ‘왜?’라고 사물의 본질을 따져 묻는 훈련이 되지 않은 사람에게 그것은 편리한 기계에 지나지 않는다. 생각하는 힘, 새로운 것을 창조하는 능력은 수학을 비롯한 기초 학문을 통해 길러지는 것이기 때문이다. <br/><br/>수학은 우리 아이들에게 가장 스트레스를 주는 교과이기도 하고, 21세기 교양의 핵심 영역이기도 하다. 우리 아이들이 세계의 아이들과 교류하고 소통하며 살아갈 때 가장 중요한 덕목이 무엇일까? 바로 합리적이고 객관적인 사고 능력이다. 그래야 대화와 토론이 되고 진정한 소통이 이루어진다. 그런 능력을 키우는 데 가장 적합한 공부가 수학이다. 그런데 우리가 수학을 그렇게 배우고 가르쳐 본 적이 있는가? 이처럼 중요한 수학이 40년 전과 다름없이 공식을 외워서 문제를 푸는 과목으로 머물러 있는 것은 우리 교육의 가장 큰 문제 가운데 하나이다. 하루가 다르게 바뀌는 세상에서 한 권의 수학 참고서가 40년 동안 장수하는 것이 정말 정상적인 일일까? 선진국의 수학 교육 프로그램과 우리의 그것을 비교해 본다면, 누구든 위기감을 느낄 수밖에 없을 것이다. 그래서 우리 아이들에게 하루빨리 수학의 진정한 맛을 보여주는 새로운 개념의 교과서를 쥐어 주어야겠다는 마음으로 만든 것이 <행복한 수학 초등학교>이다.<br/><br/>지금까지 나온 수학 교양서는 수학 그 자체보다 수학자 이야기, 수학사, 수학의 에피소드 등 주변적인 주제를 다루는 데 머물러 있다. 그런 책들이 수학에 관한 도서목록을 풍부하게 해주는 것은 사실이다. 하지만 수학의 메인은 여전히 학습서와 학원에서 주도하도록 방치되어 있는 셈이다. <행복한 수학 초등학교>는 시대에 뒤떨어진 수학 교육을 본질적으로 개혁하려는 대안의 교육 프로그램이다. 우리는 이 책이 수학 교육의 철학과 방법론을 근본적으로 혁신해야 한다는 의제를 던지고, 그것을 개혁하려는 논의의 한 모델이 되었으면 하는 바람을 가지고 있다. <br/>